Question

已知點P是圓上任意一點，點F₂與點F₁關于原點對稱．線段PF₂的中垂線m分別與PF₁、PF₂交于M、N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P，Q兩點，若（O為坐標原點），試求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意判斷點M的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，進而可求點M的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+n，代入橢圓方程，利用△＞0及韋達定理，，即可求得直線l在y軸上截距的取值范圍．
解答：解：（1）由題意得，F₁（-1，0），F₂（1，0），圓F₁的半徑為，且|MF₂|=|MP|…（1分）
從而…
（3分）
∴點M的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，…（5分）
其中長軸，得到，焦距2c=2，∴短半軸b=1
∴橢圓方程為：…
（6分）
（2）設直線l的方程為y=kx+n，由，消元可得（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0
則△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①…（8分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
由可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0…（10分）
整理可得…
（12分）
即
化簡可得3n²=2k²+2，代入①整理可得，
故直線l在y軸上截距的取值范圍是．    …（14分）
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是利用橢圓的定義，聯立直線與橢圓方程，屬于中檔題．