Question

已知數列的前項和為，點在直線上.數列滿足，且，前9項和為153.
（1）求數列、{的通項公式；
（2）設，數列的前和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值；
（3）設，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）  ＝ （2） 
（3）存在唯一正整數m =11，使得成立.

試題分析：（1）由題意，得即   
故當時，
當=1時，，而當=1時，+5＝6,
所以，    
又，即   
所以（）為等差數列，于是
而，，
因此，＝，即＝   
（2） 
    
所以，
    
由于，
因此T_n單調遞增，故   
令   
（Ⅲ）  
①當m為奇數時，m + 15為偶數.
此時，
所以   
②當m為偶數時，m + 15為奇數.
此時，
所以（舍去）.    
綜上，存在唯一正整數m =11，使得成立.    
點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，確定數列的通項是關鍵．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．