Question

已知直線x+y=a與圓x²+y²=4交于A、B兩點，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，其中O為原點，則實數a的值為（　　）

• A、2
• B、-2
• C、2或-2
• D、

  6

  或-

  6

Answer 1

分析：條件“|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|”是向量模的等式，通過向量的平方可得向量的數量積

OA

+

OB

|²=|

OA

-

OB

|²，

OA

•

OB

=0，可得出垂直關系，接下來，如由直線與圓的方程組成方程組求出A、B兩點的坐標，勢必計算很繁，故采用設而不求的方法．

解答：解：由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|得|

OA

+

OB

|²=|

OA

-

OB

|²，

OA

•

OB

=0，

OA

⊥

OB

，
三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為

2

，即

|a|

2

=

2

，a=±2，故選C．

點評：若非零向量

OA

，

OB

，滿足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，則

OA

⊥

OB

．模的處理方法一般進行平方，轉化成向量的數量積．
向量是既有大小，又有方向的量，它既有代數特征，又有幾何特征，通過向量可以實現代數問題與幾何問題的互相轉化，所以向量是數形結合的橋梁．