Question

（2011•天津模擬）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與一等軸雙曲線相交，M是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點F₁，F₂，雙曲線的焦點是橢圓的頂點A₁，A₂，△MF₁F₂的周長為4（

2

+1）．設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，確定橢圓離心率，利用橢圓的定義得到又2a+2c=4（

2

+1），解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀），根據斜率公式求得k₁、k₂，把點P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可證明結果；
（Ⅲ）設直線AB的方程為y=k（x+2），則可求出直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：（Ⅰ）解：由題意知，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，得a=

2

c，
又2a+2c=4（

2

+1），所以可解得a=2

2

，c=2，
所以b²=a²-c²=4，
所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
所以橢圓的焦點坐標為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1；
（Ⅱ）證明：設點P（x₀，y₀），
則k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又點P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

x02

4

-

y02

4

=1，即y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1；
（Ⅲ）解：假設存在常數λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則由（II）知k₁•k₂=1，
∴設直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），
y=k（x+2）與橢圓方程聯立，消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達定理得，x₁+x₂=

-8k2

1+2k2

，x₁•x₂=

8k2-8

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 2 (1+k2)

1+2k2

，
同理|CD|=

4 2 (1+k2)

2+k2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3+3k2

4 2 (1+k2)

=

3 2

8

∴存在常數λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力，屬于中檔題．