Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=　　　.

 

Answer 1

2n-1

【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,當(dāng)n≥2時(shí)Sn=2Sn-1+n,

兩式相減得:an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),

即=2.

又S2=2S1+1+1,a1=S1=1,

∴a2=3,∴=2,

∴{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N*).

【方法技巧】含Sn,an問題的求解策略

當(dāng)已知含有Sn+1,Sn之間的等式時(shí),或者含有Sn,an的混合關(guān)系的等式時(shí),可以采用降級(jí)角標(biāo)或者升級(jí)角標(biāo)的方法再得出一個(gè)等式,兩個(gè)等式相減就把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式.