Question

【題目】設函數f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）若函數F（x）=f（x）+g（x）﹣2（ex+x），試判斷函數F（x）的零點個數，并說明理由；
（3）若函數f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值為φ（t），解關于t的不等式φ（t）≤4e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex（ax+b），g（x）=x2+2bx+2

∴f′（x）=ex（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，

由題意它們在x=0處有相同的切線，

∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，

f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，

∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2

（2）解：由題意F（x）=2xex+x2+2x+2，

∴F′（x）=2（ex+1）（x+1），

由F′（x）＞0，得x＞﹣1；由F′（x）＜0，得x＜﹣1，

∴F（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，

∴F（x）極小值=F（﹣1）=1﹣ ＞0，

∴函數F（x）的零點個數為0．

（3）解：f′（x）=2ex（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，

由f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣2，+∞）單調遞增，在（﹣∞，﹣2）單調調遞減，

∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2．

①當﹣3＜t＜﹣2時，f（x）在（t，﹣2）單調遞減，（﹣2，t+1）單調遞增，

∴ ．

②當t≥﹣2時，f（x）在[t，t+1]單調遞增，

∴

∴φ（t）= ，

當﹣3＜t＜﹣2時，φ（t）≤4e2，

當t≥﹣2時，φ（t）=2et（t+1），

當﹣2≤t≤﹣1時，φ（t）≤4e2，

當t＞﹣1時，φ（t）=2et（t+1）是增函數，又φ（2）=6e2，

∴﹣1＜t≤2，

∴不等式φ（t）≤4e2的解集為（﹣3，2]．

【解析】（1）由已知條件得f′（x）=ex（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，f′（0）=a+b=g′（0）=2b，f（0）=b=g（0）=2，由此求出a=b=2，從而能求出f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．（2）由題意F′（x）=2（ex+1）（x+1），由導數性質得F（x）極小值=F（﹣1）=1﹣ ＞0，由此求出函數F（x）的零點個數為0．（3）f′（x）=2ex（x+2），由導數性質求出φ（t）= ，由此能示出不等式φ（t）≤4e2的解集．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．