Question

甲，乙兩隊各有3名隊員，投籃比賽時，每個隊員各投一次，命中率均為，
（1）設前n（n=1，2，3，4，5，6）個人的進球總數與n之比為a_n，求滿足條件a₆=，且a_n≤（n=1，2，3，4，5）的概率；
（2）設甲，乙兩隊進球數分別為i，j（i，j∈{0，1，2，3}），記ξ=|i-j|，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）a₆=，即6個人投籃進了3個球，又a_n≤（n=1，2，3，4，5），則有兩種情況：第一，第1人投籃沒投進，第2人投籃投進了，第3人投籃沒投進，第4、5人總共投進了1個球，第6人投籃投進了，求出概率P₁，第二，第1人投籃沒投進，第2人投籃沒投進，第3、4、5人總共投進了2個球，第6人投籃投進了，求出概率為P₂，根據互斥事件的概率公式可求出所求概率為P=P₁+P₂；
（2）ξ的取值可能為0，1，2，3，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（1）a₆=，即6個人投籃進了3個球，
又a_n≤（n=1，2，3，4，5），則有兩種情況：
第一，第1人投籃沒投進，第2人投籃投進了，第3人投籃沒投進，第4、5人總共投進了1個球，第6人投籃投進了，其概率為P₁=×××C₂¹（）²×=
第二，第1人投籃沒投進，第2人投籃沒投進，第3、4、5人總共投進了2個球，第6人投籃投進了，其概率為P₂=××C₃²（）³×=
從而，所求概率為P=P₁+P₂=
（2）ξ的取值可能為0，1，2，3
P（ξ=0）表示兩隊進球數相同，即有
P（ξ=0）=（）³×（）³+C₃¹（）³×C₃¹（）³+C₃²（）³×C₃²（）³+（）³×（）³=
P（ξ=1）=2[（）³×C₃¹（）³+C₃¹（）³×C₃²（）³+C₃²（）³×（）³]=
P（ξ=2）=2[（）³×C₃²（）³+C₃¹（）³×（）³]=
P（ξ=3）=2[（）³×（）³]=

ξ		1	2	3
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=
點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望和分布列，同時考查了計算能力和分類討論的數學思想，屬于中檔題．