Question

甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發子彈．根據以往資料知，甲擊中8環，9環，10環的概率分別為0.6，0.3，0.1，乙擊中8環，9環，10環的概率分別為0.4，0.4，0.2．
設甲、乙的射擊相互獨立．
（Ⅰ）求在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率；
（Ⅱ）求在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率．

Answer 1

記A₁，A₂分別表示甲擊中9環，10環，B₁，B₂分別表示乙擊中8環，9環，
A表示在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，
B表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中的環數，
C₁，C₂分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數．
（Ⅰ）甲、乙的射擊相互獨立
在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數包括三種情況，
用事件分別表示為A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，且這三種情況是互斥的，
根據互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到
∴P（A）=P（A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂）=P（A₁•B₁）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）
=P（A₁）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₂）
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．
（Ⅱ）由題意知在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數表示三輪中恰有兩輪或三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數，這兩種情況是互斥的，即B=C₁+C₂，
∵P（C₁）=C₃²[P（A）]²[1-P（A）]=3×0.2²×（1-0.2）=0.096，
P（C₂）=[P（A）]³=0.2³=0.008，
∴P（B）=P（C₁+C₂）=P（C₁）+P（C₂）=0.096+0.008=0.104．