Question

【題目】已知函數（，，為自然對數的底數），若對于恒成立．

（1）求實數的值；

（2）證明：存在唯一極大值點，且．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數f(x)提取公因式，可知只需，而，所以是的一個極小值點，可解得。（2）由（1）知，，．令，則，由單調性及，，知在上存在，滿足,可知在上只有一個極小值點0，存在唯一的極大值點，且．再由隱零點回代可證得不等式成立。

試題解析：（1）由，可得，

因為，所以，

從而是的一個極小值點，

由于，所以，即．

當時，，，

∵時，，在上單調遞減，

時，，在上單調遞增；

∴，故．

（2）當時，，．

令，則，

∵時，，在上為減函數；

時，，在上為增函數，

由于，，所以在上存在滿足，

∵在上為減函數，

∴時，，即，在上為增函數，

時，，即，在上為減函數，

時，，即，在上為減函數，

時，，即，在上為增函數，

因此在上只有一個極小值點0，

綜上可知，存在唯一的極大值點，且．

∵，∴，

所以，，

∵時，，∴；

∵，∴；

綜上知：．