Question

設函數f(x)=lnx-px+1

(1)當P>0時，若對任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范圍

（2）證明：    (n∈N，n≥2)

Answer 1

（1）P≥1   （2）證明如下

解析:

（1）f(x)=ln₂x-px+1定義域（0，+∞）,f′(x)=-p==

   當P>0時，令f′(x)=0,x=（0，+∞）

當x∈(0, )時，f′(x)>0   f(x)為增函數，

當x∈( ，+∞)時f′(x)<0

f(x)為減函數。

f(x)_max=f()=ln

要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0

∴P≥1

（2）令P=1 由（1）知：lnx-x+1≤0

∴lnx≤x-1   n≥2

lnn²≤n²-1    

∴

   =(n-1)-()

<(n-1)-[]

=(n-1)-(+)

=(n-1)-()

=