Question

【題目】已知離心率為的橢圓焦點在軸上，且橢圓個頂點構成的四邊形面積為，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上一點，且（為坐標原點）.求當時，實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由離心率率與面積，可求得。（2）由（1）橢圓方程為，設直線的方程為，由直線橢圓方程組方程組，再由判別式， ，這兩個不等式可求得參數k的范圍，再由的坐標表示及點P在橢圓上，可求得與k的有關系，通過k的范圍求出的范圍。

試題解析：（1）設橢圓的方程為，由題意可知，得， ；

又頂點構成四邊形的是菱形，面積，所以， ，橢圓方程為.

（2）設直線的方程為或， ， ， ，

當的方程為時， ，與題意不符.

當的方程為時，由題設可得、的坐標是方程組的解.

消去得，所以，即，

則， ， ，

因為 ，所以 ，

解得，所以.

因為，即，

所以當時，由，得， ，

上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在：

當時， ， ，

因為點在橢圓上，所以，

化簡得，因為，所以，則.

綜上，實數的取值范圍為.