Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,點是橢圓上任意一點, 的周長為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點 (-4,0)任作一動直線交橢圓于兩點,記,若在線段上取一點,使得,則當直線轉動時,點在某一定直線上運動,求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 點在定直線上.

【解析】試題分析: (1)由已知條件求出 的值, 根據 ,求出橢圓的方程; (2)設直線 聯立直線與橢圓方程, 求出 的表達式,將 由 表示出來，由,求出 的表達式,化簡,求出為定值.

試題解析: (Ⅰ)因為的周長為,

所以,即.

又離心率,解得,

.

所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率必存在.

故可設直線的方程為,

由,消去得,

由根與系數的關系得,

由,得

所以.

所以,

設點的坐標為,

由,得,

所以,

解得.

而,

,

所以.

故點在定直線上.

點睛: 本題主要考查了以橢圓為載體,求橢圓標準方程以及橢圓與直線的關系 ,屬于中檔題. 考點有: 橢圓的標準方程,橢圓的簡單幾何性質,韋達定理,向量坐標運算等等. 考查學生的邏輯思維能力,運算求解能力.