Question

【題目】已知函數．

（1）求函數y=g（x）的圖象在處的切線方程；

（2）求y=g（x）的最大值；

（3）令f（x）=ax2+bx﹣x（g（x））（a，b∈R）．若a≥0，求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)求出原函數的導函數，得到,求出,由直線方程的點斜式得結果；(2) 求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；由導數求的單調區間，進一步求得函數的極值，得到最大值；(3) 討論和及的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間.

（1）定義域x∈（0，+∞），，

，，

∴切線方程為，即2e2x﹣y﹣3e=0；

（2）定義域x∈（0，+∞），

由=0，得x=e，

當x∈（0，e）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；

當x∈（e，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減．

∴x=e是極大值點，極大值為．

∵在x∈（0，+∞）上，極值點唯一，

∴是最大值；

（ 3）由f（x）=ax2+bx﹣lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=．

①當a=0時，f'（x）=．

若b≤0，當x＞0時，f'（x）＜0恒成立，

∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，+∞）．

若b＞0，當0＜x＜時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減．

當x＞時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，），單調遞增區間是（,）．

②當a＞0時，令f'（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0．

由△=b2+8a＞0，得x1=，x2=．

顯然，x1＜0，x2＞0．

當0＜x＜x2時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

當x＞x2時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

∴函數f（x）的單調遞減區間是（0，x2），單調遞增區間是（x2，+∞）．

綜上所述，

當a=0，b≤0時，函數f（x）的單調遞減區間是（0，+∞）；

當a=0，b＞0時，函數f（x）的單調遞減區間是（0，），單調遞增區間是（，+∞）；

當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間是（0，x2），單調遞增區間是（x2，+∞）．