Question

已知函數，，其中，為自然對數的底數．
（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）試探究能否存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性？若能存在，說明區間的特點，并指出和在區間上的單調性；若不能存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2） 
（3）當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數．

試題分析：（1）切點處的導數值，即為切線的斜率，根據在處的切線與直線垂直，斜率乘積為，建立的方程；
（2）遵循求導數、求駐點、討論區間單調性、確定極值（最值）；
（3）求的定義域為，及導數 ．     
根據時，，知在上單調遞減．
重點討論的單調性．
注意到其駐點為，故應討論：
①， ②的情況，作出判斷．
綜上，當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數．
試題解析：（1），，
在處的切線與直線垂直，
                                                 3分
（2）的定義域為，且 ．
令，得．                                             4分
若，即時，，在上為增函數，；5分
若，即時，，在上為減函數，
；                                               6分
若，即時，
由于時，；時，，
所以
綜上可知                               8分
（3）的定義域為，且 ．     
時，，在上單調遞減．                      9分
令，得
①若時，，在上，單調遞增，由于在上單調遞減，所以不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；                                                            10分
②若時，，在上，單調遞減；
在上，單調遞增．由于在上單調遞減，存在區間，使得和在區間上均為減函數．                                   
綜上，當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數．                                                                    13分