Question

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由Rt△ABC中，∠C=90°且DE∥BC，證出A₁D⊥DE．結(jié)合A₁D⊥CD，可得A₁D⊥面BCDE，從而得到A₁D⊥BC．最后根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合BC⊥CD可證出BC⊥面A₁DC；
（II）以D為原點，分別以

DE

，

DA1

，

CD

為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出平面A₁BC的一個法向量．根據(jù)空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質(zhì)，即可算出BE與平面A₁BC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，
∴A₁D⊥BC．BC⊥CD，A₁D∩CD=D，
∴BC⊥面A₁DC；
（2）解：以D為原點，分別以

DE

，

DA1

，

CD

為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D-xyz            
在直角梯形CDEB中，過E作EF⊥BC，EF=2，BF=1，BC=3，
∴B（3，0，-2），E（2，0，0），C（0，0，-2），A₁（0，4，0），
∴

BE

=(-1，0，2)，

CA1

=(0，4，2)，

BA1

=(-3，4，2)，
設(shè)平面A₁BC的法向量為

m

=(x，y，z)，由

CA • m =0 BA • m =0

，可得

4y+2z=0 -3x+4y+2z=0

，
∴

z=-2y x=0

，令y=1，∴

m

=(0，1，-2)
設(shè)BE與平面A₁BC所成角為θ，∴sinθ=

| BE • m |

| BE || m |

=

4

5 • 5

=

4

5

．

點評：本題在四棱錐中證明線面垂直，求直線與平面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．