Question

【題目】2017年郴州市兩會召開前夕，某網站推出兩會熱點大型調查，調查數據表明，民生問題時百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占80%，現從參與者中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡；
（2）現在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人贈送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率；
（3）若要從所有參與調查的人（人數很多）中隨機選出3人，記關注民生問題的人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖得：

（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，

解得a=0.035

（2）解：分層抽樣的方法在第3組中應抽取 =7人，

設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，

則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，

則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：

P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（3）解：X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3， ），

且P（X=k）= ，k=0，1，2，3，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

EX=np=3× =

【解析】（1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a．（2）分層抽樣的方法在第3組中應抽取7人，設事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則 為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率．（3）X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3， ），由此能求出X的分布列和數學期望．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．