Question

在各項均為負數的數列{a_n}中，已知點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=

2

3

x的圖象上，且a2•a5=

8

27

．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列，并求出其通項；
（2）若數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把點的坐標代入直線方程，根據等比數列的定義進行證明，顯然公比是

3

2

，再根據條件a2•a5=

8

27

求出首項即可求出這個數列的通項公式；
（2）數列b_n是一個等比數列和一個等差數列的對應項的和組成的數列，分別求和即可．

解答：解：（1）因為點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=

2

3

x的圖象上，
所以an+1=

2

3

an，即

an+1

an

=

2

3

，故數列a_n是公比q=

2

3

的等比數列
因為a2a5=

8

27

，則a 1q•a1q4=

8

27

，即

a

2 1

(

2

3

)5=(

2

3

)3，由于數列a_n的各項均為負數，則a1=-

3

2

所以an=-(

2

3

)n-2．（6分）
（2）由（1）知，an=-(

2

3

)n-2，bn=-(

2

3

)n-2+n，
所以Sn=3•(

2

3

)n-1+

n2+n-9

2

．（12分）

點評：本題考查等比數列的概念、通項，等比數列和等差數列的求和．高考對數列的考查難度在下降，其考查的重點轉變為考查數列中的基本問題、兩類基本數列，以及數列求和方面．解決兩類基本數列問題的一個重要思想是基本量方法，即通過列出方程或者方程組求出等差數列的首項和公差、等比數列的首項和公比．數列求和要掌握好三個方法，一個是本題使用的分組求和，第二個是錯位相減法，第三個是裂項求和法．