Question

已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的數量積等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，將直線與拋物線方程聯立，消去參數，得到關于的方程，得到兩根之和兩根之積，設出點的坐標，代入到中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出的值，從而得到拋物線的標準方程；第二問，先利用點的坐標得出直線的斜率，再根據拋物線方程轉化參數，得到和的關系式，代入到所求證的式子中，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得出常數即可.
試題解析：（Ⅰ）將代入，得．    2分
其中
設，，則
，．          4分
．
由已知，，．
所以拋物線的方程．          6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
，同理，     10分
所以．    12分
考點：1.拋物線的標準方程；2.韋達定理；3.向量的數量積；4.直線的斜率公式.