Question

【題目】已知中心在原點的雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，且該雙曲線過點(2,2).

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）點A為雙曲線C上任一點，F1F2分別為雙曲線的左右焦點,過其中的一個焦點作∠F1AF2的角平分線的垂線，垂足為點P，求點P的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據漸近線方程，設出雙曲線方程，根據點在雙曲線上，求出參數值，即可得到結果；

（2）根據題意，由三角形全等，結合雙曲線的定義，推出點滿足的條件，根據圓的定義，即可寫出其軌跡方程.

（1）根據題意，雙曲線的漸近線方程是y=±2x，

則設雙曲線方程為：4x2﹣y2=λ，(λ≠0)，

點(2,2)代入得：λ=12，

則雙曲線方程為：4x2﹣y2=12，

即1.

（2）∵F1,F2是雙曲線1的左右焦點，

過F2作角的平分線AB的垂線，垂足為P，

并且交AF1于Q，連接OP，

如下圖所示：

則//，

顯然

故|AQ|=|AF2|，

∴|F1Q|=|AF1|﹣|AQ|=|AF1|﹣|AF2|=2a，

∴|OP|=a，

由圓的定義可知，點P的軌跡是以點O為圓心，為半徑的圓，

所以P的軌跡方程為：x2+y2=3.