Question

設,.

（Ⅰ）當時,求曲線在處的切線的方程;

（Ⅱ）如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);

（Ⅲ）如果對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎知識，考查函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將代入得到解析式，求將代入得到切線的斜率，再將代入到中得到切點的縱坐標，利用點斜式求出切線方程；第二問，先將問題轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值和最小值問題，對求導，通過畫表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出最值代入即可；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為恒成立，設出新函數(shù)，求的最大值，所以即可.

試題解析：(1)當時,,,,,

所以曲線在處的切線方程為;          2分

(2)存在,使得成立等價于:,

考察, ,

		遞減	極小值	遞增

由上表可知:,

,

所以滿足條件的最大整數(shù);                        7分

(3)當時,恒成立等價于恒成立,

記，，，

記，，由于，

，所以在上遞減，

當時，，時，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以.

考點：1.利用導數(shù)求切線方程；2.利用導數(shù)求函數(shù)最值；3.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.