Question

（14分）設(shè)函數(shù)，其中。

⑴當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)的極值點；

⑶證明對任意的正整數(shù)，不等式成立。

 

Answer 1

【答案】

⑴當(dāng)時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增

⑵時，有唯一極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；時，無極值點。

⑶證明見解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運用。

（1）先求解函數(shù)的定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間。

（2）由⑴得當(dāng)時函數(shù)無極值點，接下來對于參數(shù)b，進(jìn)行分類討論，看導(dǎo)數(shù)為零的解，進(jìn)而確定極值的問題。

（3）當(dāng)時，函數(shù)，令函數(shù)，

則,當(dāng)時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時，恒有

即恒成立，從而得到證明。

解：⑴由題意知的定義域為（1分），

設(shè)，其圖象的對稱軸為，

當(dāng)時，,即在上恒成立,當(dāng)時，

當(dāng)時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。………………………（3分）

⑵①由⑴得當(dāng)時函數(shù)無極值點………………………（4分）

②時，有兩個相同的解

時，，時，

函數(shù)在上無極值點………………………（5分）

③當(dāng)時，有兩個不同解，，

時，，即

時，、隨的變化情況如下表：

由此表可知時，有唯一極小值點；………………（7分）

當(dāng)時，，,此時，、隨的變化情況如下表：

由此表可知：時，有一個極大值點和一個極小值點；……………（9分）

綜上所述：時，有唯一極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，無極值點。（10分）

⑶當(dāng)時，函數(shù)，令函數(shù)，

則,當(dāng)時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時，恒有

即恒成立…………………………（12分）

故當(dāng)時，有…………………………（13分）

對任意正整數(shù)，取,則有，故結(jié)論成立。……（14分）