Question

已知數(shù)列的相鄰兩項，是關(guān)于方程的兩根，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和；
（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的都成立，求實數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

解析試題分析：（1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得數(shù)列的遞推公式：，
設(shè)，易求得：，，
并注意到: ,可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）的結(jié)果得數(shù)列的通項公式,于是: ,的拆項法,將數(shù)列的前項和化為兩個等比數(shù)列的前和.
（3）由韋達定理：=
所以，采用分離變量法求將求實數(shù) 的取值范圍問題，轉(zhuǎn)變成求關(guān)于的函數(shù)的最值問題.
試題解析：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴是首項為，公比為的等比數(shù)列。
且                    4分
（2）由（1）得=
  8分（注：未分奇偶寫也得8分）
（3）∵，
∴,∴,
∴.
∴當(dāng)為奇數(shù)時，，
∴對任意的為奇數(shù)都成立，∴。                  11分
∴當(dāng)為偶數(shù)時，，
∴，
∴對任意的為偶數(shù)都成立，∴                     13分
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。                   14分
考點：1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2、等比數(shù)列的前項和；3、等價轉(zhuǎn)化的思想.