Question

【題目】已知橢圓 （）的離心率為，且點在橢圓上，設與平行的直線與橢圓相交于， 兩點，直線， 分別與軸正半軸交于， 兩點．

(I)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)判斷的值是否為定值，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率為，且點在橢圓上，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的標準方程；（Ⅱ）由，設直線（）聯立方程， ，根據韋達定理及斜率公式先證明 ，可得直線和直線的斜率和為零，可得，故，從而得在線段的中垂線上，進而可得.

試題解析：（Ⅰ）由題意，

解得： ， ，

故橢圓的標準方程為

（Ⅱ）假設直線TP或TQ的斜率不存在，則P點或Q點的坐標為(2，－1)，直線l的方程為，即.

聯立方程，得，

此時，直線l與橢圓C相切，不合題意.

故直線TP和TQ的斜率存在.

方法1：

設， ，則

直線，，

直線

故， ，

由直線，設直線（），

聯立方程， ，

當時， ， ，

.

方法2：

設， ，直線和的斜率分別為和,

由，設直線（）,

聯立方程， ,

當時， ， ,

,

故直線和直線的斜率和為零,

故,

故,

故在線段的中垂線上，即的中點橫坐標為2

故.