Question

【題目】已知函數f（x）=ln（ax+ ）+ ．
（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）在（0，+∞）上的最小值為1？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）求導：f'（x）= ﹣ ；

∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；

即： ≥ ；

∵a＞0，x＞0；

∴ ≤x2+ ；

故x2+ 在x＞0上最小值為 ；

所以： ≤ ；

解得：a≥2

（2）解：假設存在這樣的實數a，則f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+ ）+ ≥1；

ln（a+ ）≥ ＞0=ln1，解得a＞ ；

從而這樣的實數a必須為正實數，當a≥2時，由上面的討論知f（x）在（0，+∞）上遞增．

f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此時不合題意，故這樣的a必須滿足0＜a＜2；

此時：f'（x）＞0得f（x）的增區間為（ ）；令f'（x）＜0得f（x）的減區間為（0， ）；

故f（x）min=f（ ）=ln（a + ）+ =1；

整理即：ln（ ）﹣ =0；

ln（ ）﹣ =0；

設t= ∈（ ，1]；

則上式即為lnt﹣ =0，構造g（t）=lnt﹣ ，則等價于g（t）=0；

由于y=lnt為增函數，y= 為減函數，故g（t）為增函數；

觀察知g（1）=0，故g（t）=0等價于t=1，與之對應的a=1，

綜上符合條件的實數a是存在的，即a=1

【解析】（1）首先對f（x）求導，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分離參數法求出a的范圍；（2）利用反證法假設a存在，則f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞ ；利用導數判斷出函數f（x）min=1時，可求出參數a的值；
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．