Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為－2的等差數列；a_m＋1，

a_m＋2，…，a_2m是首項為，公比為的等比數列（其中 m≥3，m∈N*），并對任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．

（1）當m＝12時，求a₂₀₁₀；

（2）若a₅₂＝，試求m的值；

（3）判斷是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．

（2），m＝45，或15，或9．

（3）不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．

【解析】解（1）m＝12時，數列的周期為24．

∵2010＝24×83＋18，而a₁₈是等比數列中的項，

∴a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．

（2）設a_m＋k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m＋k＝．

∵，∴等比數列中至少有7項，即m≥7，則一個周期中至少有14項．

∴a₅₂最多是第三個周期中的項．

若a₅₂是第一個周期中的項，則a₅₂＝a_m＋7＝．

∴m＝52－7＝45；

若a₅₂是第二個周期中的項，則a₅₂＝a_3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；

若a₅₂是第三個周期中的項，則a₅₂＝a_5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；

綜上，m＝45，或15，或9．

（3）2m是此數列的周期，

∴S_128m＋3表示64個周期及等差數列的前3項之和．

∴S_2m最大時，S_128m＋3最大．

∵S_2m＝，

當m＝6時，S_2m＝31－＝；

當m≤5時，S_2m＜；

當m≤7時，S_2m＜＝29＜．

∴當m＝6時，S_2m取得最大值，則S_128m＋3取得最大值為64×＋24＝2007．

由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．