Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m構成首項為2，公差為-2的等差數列a_m+1，a_m+2，…，a_2m，構成首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，其中m≥3，m∈N₊，
（l）當1≤n≤2m，n∈N₊，時，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N₊，都有a_n+2m=a_n成立．
①當a₂₇=

1

64

時，求m的值；
②記數列{a_n}的前n項和為S_n．判斷是否存在m，使得S_4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差等比數列通項公式分段求出即可；
（2）①由a₂₇=

1

64

=(

1

2

)6，得m≥6，從而有2km+m+6=27，k∈N，由此可求得m值；②先求S_4m+1=2S_2m+a₁=，然后對不等式適當變形，根據函數單調性可作出判斷；

解答：解：（1）當1≤n≤m時，a_n=2+（n-1）（-2）=-2n+4；
當m+1≤n≤2m時，an=am+1(

1

2

)n-m-1=(

1

2

)n-m；
所以an=

-2n+4，1≤n≤m，n∈N* ( 1 2 )n-m，m+1≤n≤2m，n∈N*

；
（2）①a₂₇=

1

64

=(

1

2

)6，所以m≥6，
則2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，
當k=0時，m=21；當k=1時，m=7；當k≥2時，m≤

21

5

＜6，
所以m的取值為：7或21；
②S_4m+1=2S_2m+a₁=2[2m+

m(m-1)

2

×(-2)+

1 2 (1- 1 2m )

1- 1 2

]+2=-2m²+6m+4-

2

2m

，
S_4m+1≥2即-2m²+6m+4-

2

2m

≥2，亦即-m2+3m+1≥

1

2m

，
當m=3時，不等式為1≥

1

8

成立，
當m≥4時，-m²+3m+1＜0，而

1

2m

＞0，不等式不成立，
所以存在符合條件的m=3．

點評：本題考查等差數列等比數列的綜合應用，考查學生分析問題解決問題的能力，能力要求較高．