Question

已知及．
（1）分別求f（x）、g（x）的定義域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并說明理由；
（3）若，是否存在滿足下列條件的正數t，使得對于任意的正
數x，a、b、c都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）、g（x）的定義域均為（0，+∞）；
   ．
（2）∵，∴．
易知函數與在（-∞，1]上均為減函數，在[1，+∞）上均為增函數，
∴．
（3）∵，
∴若能構成三角形，只需恒成立．
由（1）知，，
∵，∴，即．
由（2）知，，∴．
綜上，存在，滿足題設條件．
分析：（1）利用被開放數大于0可求函數的定義域，直接相乘化簡即可；   
（2）先考慮，再說明函數與在（-∞，1]上均為減函數，在[1，+∞）上均為增函數，從未求出函數的最小值．
（3）利用構成三角形的條件，轉化為恒成立問題利用（1）（2）的結論可確定．
點評：本題主要考查利用函數單調性求函數的最值，將是否存在性問題轉化為恒成立問題時解題的關鍵．