Question

已知函數f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時的x集合；
（2）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式的第三項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后，再利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，根據余弦函數的值域可得出f（x）的值域，進而確定出函數f（x）的最大值，根據余弦函數的圖象與性質可得出取得最大值時x的范圍，確定出此時x的集合；
（2）由第一問得到的解析式，根據f（A）=0，利用余弦函數的圖象與性質得出A=kπ+

π

3

（k∈Z），并根據A為三角形的內角，確定出A的度數，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB和sinC分別表示出b與c，代入b+c中，并根據A的度數，求出B+C的度數，用B表示出C代入b+c化簡后的式子中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得出此時正弦函數的值域，即可確定出b+c的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f（x）=1-

3

sin2x+2cos²x
=cos2x-

3

sin2x+2 （2分）
=2cos（2x+

π

3

）+2，（4分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，
∴0≤2cos（2x+

π

3

）+2≤4，
∴f（x）的最大值為4，（5分）
當2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

6

（k∈Z）時，函數f（x）取最大值，
則此時x的集合為{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；（7分）
（2）由f（A）=0得：2cos（2A+

π

3

）+2=0，即cos（2A+

π

3

）=-1，
∴2A+

π

3

=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+

π

3

（k∈Z），
又0＜A＜π，∴A=

π

3

，（9分）
∵a=1，sinA=

3

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，（10分）
又A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴b+c=

2

3

（sinB+sinC）=

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

2

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=2sin（B+

π

6

），（12分）
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則b+c的取值范圍為（1，2]．（14分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，正弦、余弦函數的圖象與性質，正弦、余弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．