Question

【題目】已知函數 ，

（1）若曲線在點處的切線為，求的值；

（2）討論函數的單調性；

（3）設函數，若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，增區間為；當時，增區間為，，減區間為；當時，增區間為，，減區間為；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先求得的定義域及導函數，然后利用導數的幾何意義求解即可；（2）分、、討論的導函數與0的關系，由此求得函數的單調區間；（3）首先根據條件將問題轉化為有解，然后令，從而通過求導得到函數的單調性，并求得其最小值，進而求得實數的取值范．

試題解析：（1）的定義域為，，

∴，，

解得，∴．

（2），

當時，，∴的單調增區間為

當時，由，

∴的單調增區間為，

由，∴的單調減區間為.

當時，由，∴的單調減區間為，

由，∴的單調減區間為.

綜上所述：當時， ，∴的單調增區間為，

當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為

當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為.

（3）若至少存在一個，使得，∴，

當時，，∴有解，令，

∴

，∴在上單調遞減，

∴得，．