Question

【題目】設數列{an}和{bn}的項數均為m，則將數列{an}和{bn}的距離定義為 |ai﹣bi|．
（1）給出數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離；
（2）設A為滿足遞推關系an+1= 的所有數列{an}的集合，{bn}和{cn}為A中的兩個元素，且項數均為m，若b1=2，c1=3，{bn}和{cn}的距離小于2016，求m的最大值；
（3）記S是所有7項數列{an|1≤n≤7，an=0或1}的集合，TS，且T中任何兩個元素的距離大于或等于3，證明：T中的元素個數小于或等于16．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離為1+0+5+1=7
（2）解：設a1=p，其中p≠0，且p≠±1，

由an+1= ，得a2= ，a3=﹣ ，a4= ，a5=p，

∴a1=a5，

因此A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，

所數列{bn}中，b4k﹣3=2，b4k﹣2=﹣3，b4k﹣1=﹣ ，b4k= ，k∈N*，

所以{cn}中，b4k﹣3=3，b4k﹣2=﹣2，b4k﹣1=﹣ ，b4k= ，k∈N*，

|bi﹣ci|≥ |bi﹣ci|，得項數m越大，數列{bn}和{cn}的距離越大，

由 =bi﹣ci|= ，

得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016，

所以m＜3456時， |bi﹣ci|＜2016，

故m的最大值為3455

（3）解：證明：假設T中的元素個數大于等于17個，

因為數列{an}中，ai=0或1，

所以僅由數列前三項組成的數組（a1，a2，a3）有且僅有8個，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），

（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），

那么這17個元素（即數列）之中必有三個具有相同的a1，a2，a3，

設這個數列分別為{cn}：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，{dn}：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，{fn}：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，

其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，

因為這三個數列中每兩個的距離大于等于3，

所以，{bn}和{cn}中，ci=di，（i=4，5，6，7）中至少有三個成立，

不妨設c4≠d4，c5≠d5，c6≠d6，

由題意，c4和d4中一個等于0，而另一個等于1，

又因為f4=0或1，

所以f4=c4和f4=d4中必有一個成立，

同理，得f5=c5和f5=d5中必有一個成立，f6=c6和f6=d6中必有一個成立，

所以“fi=ci（i=3，4，5）中至少有兩個成立”或”fi=di（i=4，5，6）中至少有兩個成立“中必有一個成立，

所以 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一個成立．

與題意矛盾，

∴T中的元素個數小于或等于16

【解析】（1）由數列距離的定義即可求得數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離；（2）由數列的遞推公式，即可求得a，a3 ， a4 ， a5 ， 求得A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，求得數列{bn}和{cn}規律，可知隨著項數m越大，數列{bn}和{cn}的距離越大，由 =bi﹣ci|= ，根據周期的定義，得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016，求得m的最大值；（3）利用反證法，假設T中的元素個數大于等于17個，設出{cn}，{dn}，{fn}，最總求得 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一個成立，與數列的距離大于或等于3矛盾，故可證明T中的元素個數小于或等于16．