Question

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中，底面，，，.

（1）求證:平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）四棱錐的體積為.

解析試題分析：（1）要證平面平面，只需要證明平面，先利用余弦定理求出，再由勾股定理得到，結(jié)合平面可得到，由這兩個(gè)條件可以證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理可以證明平面平面；
（2）先由已知條件結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)得到的長(zhǎng)度，先由（1）中的結(jié)論平面得出四邊形為矩形，從而可以計(jì)算出矩形的面積，然后取的中點(diǎn)，連接，利用（1）中的結(jié)論結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理得到平面，并計(jì)算出的長(zhǎng)度，最終利用錐體體積公式計(jì)算出四棱錐的體積；解法二是將四棱錐分解為兩個(gè)三棱錐和三棱錐，利用兩個(gè)三棱錐等底同高得到兩個(gè)三棱錐的體積相等，從而得到，在計(jì)算三棱錐的體積時(shí)，利用等體積法計(jì)算三棱錐的體積，此時(shí)為高，為底，從而計(jì)算出三棱錐的體積，最終得到四棱錐的體積.
試題解析：（1）證明： 在中，由余弦定理得：，
所以，所以，即，              3分
又四邊形為平行四邊形，所以，
又底面，底面，所以，              4分
又，所以平面，              5分
又平面，所以平面平面．              6分
（2）法一：連結(jié)，∵，∴
∵平面，所以，           8分
所以四邊形的面積，    10分
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，
又平面平面，