Question

（理）已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，O為坐標原點，其中{a_n}、{b_n}分別為等差數列和等比數列，P₁是線段AB的中點，對于給定的公差不為零的a_n，都能找到唯一的一個b_n，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一個指數函數

 

（寫出函數的解析式）的圖象上．

Answer 1

分析：設數列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，…P_n，是互不相同的點．由題意可得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中點，所以a1=b1=

1

2

．所以Pn(

1

2

+(n-1)d，

1

2

qn-1)．所以猜想是一個指數函數，即為f（x）=a^x，代入整理可得a

1

2

=

1

2

即a=

1

4

．進而得到答案．

解答：解：設數列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，因為P₁，P₂，P₃，…P_n，是互不相同的點．
由題意可得

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中點，
所以P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．
所以P1(

1

2

，

1

2

)P2(

1

2

+d，

1

2

q)P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以Pn(

1

2

+(n-1)d，

1

2

qn-1)．
所以猜想是一個指數函數，即為f（x）=a^x，
所以a

1

2

+(n-1)d=a

1

2

•a(n-1)d=a

1

2

•(ad)n-1=

1

2

qn-1
所以a

1

2

=

1

2

即a=

1

4

．
故答案為：y=(

1

4

)x．

點評：本題主要考查知識間的滲透問題，是向量形式和坐標形式的相互轉化，點的橫縱坐標是一個數列進而利用數列知識研究其關系．