Question

已知函數，曲線在點處的切線方程為。
（1）求、的值；
（2）如果當，且時，，求的取值范圍。

Answer 1

（1），   （2）（-，0]

（1）
由于直線的斜率為，且過點，故即

解得，。
（2）由（1）知，所以
。
考慮函數，則。
(i)設，由知，當時，，h(x)遞減。而故當時，，可得；
當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）設0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當x（1，）時，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。
（iii）設k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。
綜合得，k的取值范圍為（-，0]
點評：求參數的范圍一般用離參法，然后用導數求出最值進行求解。若求導后不易得到極值點，可二次求導，還不行時，就要使用參數討論法了。即以參數為分類標準，看是否符合題意。求的答案。此題用的便是后者。