Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若?，（i）求證：直線過定點；
（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

(1)2      (2)

（Ⅰ）由題意:設直線,
由消y得:,設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得
，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.
（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,,且?，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數k無關,所以直線過定點(-1,0).
（ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,
由（i）知點G(,所以點B(,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或6，又因為,所以舍去,即，此時k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標為，G(,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點，關于軸對稱,此時的外接圓的方程為.