Question

【題目】在直三棱柱中，，，D為線段AC的中點.

（1）求證：：

（2）求直線與平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由直三棱柱的定義可得,再根據等腰三角形性質可得,再由線面垂直的判定可得平面,即可證明.

（2）取線段的中點為,分別取作為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,利用向量數量積運算求得平面BC1D的法向量,即可由線面夾角的求法求得直線與平面所成角的余弦值.

（3）由平面BC1D的法向量和平面的法向量,即可利用法向量法求得二面角的余弦值.

（1）證明：由直三棱柱,可得底面,

∴.

∵,D為線段的中點.

∴,又,

∴平面,

∴.

（2）取線段的中點為,分別取作為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,如下圖所示:

,

,,,

設平面BC1D的法向量為,

則,代入可得,令可得

即.

∴直線與平面所成角的余弦值

||.

（3）,,.

設平面的法向量為,

則,代入可得,令,解得

即.

∴.

由圖可知,二面角為銳二面角

∴二面角的余弦值為.