Question

已知橢圓，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓c的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上（不是頂點(diǎn)），△PF₁F₂內(nèi)一點(diǎn)G滿(mǎn)足，其中．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長(zhǎng)為2，過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），若，求△F₁AB面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定G是△PF₁F₂的重心，坐標(biāo)為，從而可得P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求出橢圓方程為，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，與，利用韋達(dá)定理及向量條件，可求得，進(jìn)而利用，S=，即可求得△F₁AB面積．
解答：解：（I）由，可得G的坐標(biāo)為
∵，
∴G是△PF₁F₂的重心
令P的坐標(biāo)是（x，y），則有，∴
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴
∴3a²=4b²，即4c²=a²，∴e=；
（Ⅱ）∵橢圓C短軸長(zhǎng)為2，3a²=4b²
∴a=2，b=，c=1
∴橢圓方程為
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴y₁=-2y₂①
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，與聯(lián)立，消元整理可得（3m²+4）y²+6my-9=0
∴②，③
由①②③，可得
∴
∴=
∴△F₁AB面積S==
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積，屬于中檔題．