Question

已知兩點F₁（-1，0）及F₂（1，0），點P在以F₁、F₂為焦點的橢圓C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構成等差數列．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

（1）；（2）。

解析試題分析：（1）依題意，設橢圓的方程為．
構成等差數列，
， ．
又，．
橢圓的方程為． 4分 
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．                5分
由直線與橢圓僅有一個公共點知，，
化簡得：．                           7分
設，，    9分

（法一）當時，設直線的傾斜角為，
則，
，       
，11分
，當時，，，．
當時，四邊形是矩形，．   13分
所以四邊形面積的最大值為．    14分
（法二），
．
．
四邊形的面積，  11分                      
                                                 ．   13分
當且僅當時，，故．
所以四邊形的面積的最大值為．     14分
考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；橢圓的定義；直線與橢圓的綜合應用；基本不等式。
點評：（1）本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知
識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查分類討論、數形結合、化歸與轉化思想．（2）做此題的關鍵是表示出四邊形的面