Question

【題目】已知圓：，直線：．

（1）若直線被圓截得的弦長為，求實數的值；

（2）當時，由直線上的動點引圓的兩條切線，若切點分別為，，則在直線上是否存在一個定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 在直線上存在一個定點，定點坐標為.

【解析】

試題(1)根據直線與圓相交，利用弦長公式即可；(2)根據直線與圓相切的條件，列出方程進行求解判斷.

試題解析：(1)圓的方程可化為，

故圓心為，半徑.

則圓心到直線的距離為.

又弦長為，則，

即，解得.

(2)當時，圓的方程為 ①

則圓心為，半徑，圓與直線相離.

假設在直線上存在一個定點滿足條件，設動點，

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC，

則在以為直徑的圓即②上，

①—②得，直線的方程為 ③

又點在直線上，則，即，代入③式

得，

即直線的方程為

因為上式對任意都成立，故，得.

故在直線上存在一個定點，定點坐標為