Question

已知函數f（x）=x²+ax+b．
（1）若對任意的實數x，都有f（x）≥2x+a，證明：b≥1；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為b-a+1，求a的取值范圍；
（3）若a=-2，關于x的方程|f（x）|=1有4個不相等的實數根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得x²+（a-2）x+b-a≥0恒成立，可得△=（a-2）²-4（b-a）≤0，由此求得b的范圍．
（2）由于當x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為b-a+1=f（-1），可得f（x）圖象的對稱軸x=-

a

2

要滿足-

a

2

≥

-1+1

2

，由此求得a的范圍．
（3）由題意可得方程x²-2x+b=1和x²-2x+b=-1各有兩個不相等的實數根，故兩個方程的判別式都要大于0，從而求得b的范圍．

解答：解：（1）∵x²+ax+b≥2x+a恒成立，即x²+（a-2）x+b-a≥0恒成立．
∴△=（a-2）²-4（b-a）≤0，
∴a²+4-4b≤0，∴4-4b≤0，∴b≥1．------（5分）
（2）∵當x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為b-a+1，即f（-1），
∴f（x）圖象的對稱軸x=-

a

2

要滿足-

a

2

≥

-1+1

2

，
∴a≤0．--------（10分）
（3）∵關于x的方程|x²-2x+b|=1有4個不相等的實數根，
∴方程x²-2x+b=1和x²-2x+b=-1各有兩個不相等的實數根，
∴兩個方程的判別式都要大于0，
∴

4-4(b-1)＞0 4-4(b+1)＞0

，
解得b＜0．---（15分）

點評：本題主要考查方程根的存在性及個數判斷，二次函數的性質應用，屬于中檔題．