Question

（本題滿分14分）
如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

Answer 1

(1)通過已知中的平面⊥平面，那么結合平面，和⊥平面，從而得到線線平行∥，利用線面平行的性質來證明。
(2)

試題分析：解：（I）證明：過點作于點，

∵平面⊥平面  ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面……6分
（Ⅱ）∵平面
∴ 又∵
∴  ∴
∴點是的中點，連結，則
∴平面  ∴∥，
∴四邊形是矩形  ……8分
設
∴，  ∴
過作于點，
∴，
取中點，連結，取的中點，連結
∵， ∴∥
∵  ∴   ∴
∴為二面角的平面角……12分
連結，則 又∵
∴
即二面角的余弦值為……14分
方法二:
（I）同方法一   ……………………………………6分
（Ⅱ）∵平面
∴，又∵
∴  ∴
∴點是的中點，連結，則
∴平面  ∴∥，
∴四邊形是矩形  ……………………8分

分別以為軸建立空間直角坐標系
設，則，，，
設平面的法向量為
∵，
∴
又∵平面的法向量為 ……12分
設二面角為，則

又∵二面角是鈍角
∴ ………………………………14分
點評：解決該試題的關鍵是利用線面平行的判定定理分析得到第一問，這是一般的解題思路，同時對于二面角的求解可以先作，后證明，再解，也可以建立直角坐標系，進而結合向量的知識來分析得到結論，屬于中檔題。