Question

對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數．在實數軸（箭頭向右）上[x]是在點x左側的第一個整數點，當x是整數時[x]就是x．這個函數[x]叫做“取整函數”也叫高斯（Gauss）函數．
從[x]的定義可得下列性質：x-1＜[x]≤x＜[x+1]．
與[x]有關的另一個函數是{x}，它的定義是{x}=x-[x]，{x}稱為x的“小數部分”．
（1）根據上文，求{x}的取值范圍和[-5，2]的值；
（2）求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

Answer 1

分析：（1）由[x]是不超過x的最大整數，且{x}=x-[x]，能求出{x}的取值范圍和[-5.2]的值．
（2）由[log₂N]=

0，1≤N＜2 1，2≤N＜ 22 2，22≤N＜ 23 … 9，29≤N＜ 210 10，N= 210

，能求出[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

解答：解：（1）∵[x]是不超過x的最大整數，
且{x}=x-[x]，
∴{x}的取值范圍是[0，1），
[-5.2]=-6．
（2）∵[log₂N]=

0，1≤N＜2 1，2≤N＜ 22 2，22≤N＜ 23 … 9，29≤N＜ 210 10，N= 210

，
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+1×（2²-2）+2×（2³-2²）+…+9×（2¹⁰-2⁹）+10
=8204．

點評：本題考查取整函數的定義和應用，考查對數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．