Question

【題目】已知，，.

（1）解關于的方程；

（2）設，時，對任意，總有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）利用換元法得到含參數的一元二次方程，再對分類討論，分析方程解的情況；

（2）題中任意，總有可以看作區間內函數最大值與函數最小值的差值問題，然后對參數進行分類討論，確定函數在區間上的單調性，從而確定函數在區間上的最值，再根據不等式求出參數的取值范圍.

（1）由題知，

代入有，

整理得，

令，，

即，，

當時，方程無解，

當時，方程有一個解，解得，

當時，方程有兩個解，

，

，

當時，方程僅有一個根，

；

（2），代入，

有，

令，，設，

①當時，易知函數在區間單調遞增，

又因為，

即，

解得，舍去，

②當時，函數在處取最小值，

當時，，

即函數在區間單調遞增，

又因為，

即，

解得，

所以，

當時，，

即函數在區間單調遞減，

在區間單調遞增，

又因為，

即，

因為當時，恒成立，

所以，

綜上.