Question

已知函數f（x）的圖象過點（0，1），且與函數g(x)=2

1

2

x-1-a-1的圖象關于直線y=x-1成軸對稱圖形．
（1）求函數f（x）的解析式及定義域；
（2）若三個正數m、n、t依次成等比數列，證明f（m）+f（t）≥2f（n）．

Answer 1

分析：（1）利用軸對稱來解，先在y=f（x）的圖象上取點P（x，y），設P點關于直線y=x-1對稱的點為Q（m，n），根據一垂直二平分，表示出m，n再代入f（x）即可．
（2）由三個正數m、n、t依次成等比數列得到n²=mt≥n2+2

mt

+1=（n+1）²，再將f（m）+f（t）≥2f（n）．通過函數值轉化證明．

解答：（1）解：在y=f（x）的圖象上取點P（x，y），
設P點關于直線y=x-1對稱的點為Q（m，n），
則

y-n x-m =-1 y+n 2 = x+m 2 -1

?

m=y+1 n=x-1.

∵Q在y=g（x）的圖象上，
∴x-1=2

y+1

2

 -1-a-1?y=2log₂（x+a）+1．
∵y=f（x）的圖象過點（0，1），
∴1=2log₂a+1?a=1．
故f（x）=2log₂（x+1）+1，定義域為（-1，+∞）．
（2）證明：∵n²=mt?（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥n2+2

mt

+1
=（n+1）²，
∴f（m）+f（t）
=2log₂（m+1）+1+2log₂（t+1）+1
=2log₂（m+1）（t+1）+2
≥2log₂（n+1）²+2
=2[2log₂（n+1）+1=2f（n）．

點評：本題主要考查函數圖象的對稱性求解析式，等比數列中項公式及放縮法證明不等式等問題．