Question

 

設函數.

（Ⅰ）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

（Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．滿分12分．

解：（Ⅰ）當時，，，，

所以切線的斜率為.…………………………………………2分

      又，所以切點為.

      故所求的切線方程為：即.…………………………………………4分

（Ⅱ），，.………………………6分

      令，則.

       當時，；當時，.

      故為函數的唯一極大值點，

所以的最大值為=.…………………………………………8分

由題意有，解得.

     所以的取值范圍為.…………………………………………10分

（Ⅲ）當時，.     記，其中.

∵當時，，∴在上為增函數，

即在上為增函數. …………………………………………12分

又，

所以，對任意的，總有.

所以，

又因為，所以.

故在區間上不存在使得成立的（）個正數…. ………………………14分