Question

【題目】設S、T是R的兩個非空子集，如果函數滿足：①；②對任意，，當時，恒有，那么稱函數為集合S到集合T的“保序同構函數”.

（1）試寫出集合到集合R的一個“保序同構函數”；

（2）求證：不存在從集合Z到集合Q的“保序同構函數”；

（3）已知是集合到集合的“保序同構函數”，求s和t的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ,(2)證明見解析,(3)的最大值為1,的最大值為

【解析】

(1)直接由題意寫出即可;

(2)用反證法證明即可;

(3)用定義證明在上遞增,在上遞減后,可得,.

(1)取,該函數是集合到集合R的一個“保序同構函數”;

證明:任取,

則,

因為在上為增函數,所以,

即,由定義可知, 函數是集合到集合R的一個“保序同構函數”.

(2)證明:假設存在一個從集合到集合的“保序同構函數”,由“保序同構函數”的定義可知,集合和集合中的元素必須是一一對應的,不妨設整數0和1在中的像分別為和,根據保序性,因為0<1,所以,又也是有理數,但是沒有確定的原像,因為0和1之間沒有另外的整數了,故假設不成立,故不存在從集合Z到集合Q的“保序同構函數”.

(3)設,則,

所以當時,,

所以,即,所以在上遞增,

當時, ,所以,即,

所以在上遞減,

因為是集合到集合的“保序同構函數”,

所以在上遞增,所以,所以的最大值為1,的最大值為.