Question

一束光線從點F₁（-1，0）出發，經直線l：2x-y+3=0上一點P反射后，恰好穿過點F₂（1，0）．
（1）求P點的坐標；
（2）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓C的方程；
（3）設點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出F₁關于l的對稱點為F，進而利用F₁的坐標求得的值，同時把F₁F的中點代入直線方程求得n和m的關系式，聯立方程求得n和m，進而求得F的坐標．
（2）根據橢圓的定義可求得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂進而利用兩點間的距離公式求得a，根據c的值求得b，則橢圓的方程可得．
（3）假設存在兩定點，并設出坐標，分別表示出QT和QS的斜率表示出k，把橢圓的方程代入，對于x∈（-，）恒成立聯立方程求得k，s和t，求得兩定點的坐標．
解答：解：（1）設F₁關于l的對稱點為F（m，n），則且，
解得，，即．
由，解得．
（2）因為PF₁=PF，根據橢圓定義，得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=，所以a=．又c=1，
所以b=1．所以橢圓C的方程為．
（3）假設存在兩定點為A（s，0），B（t，0），
使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有k_Qt•k_Qs=k（k為定值），
即•，將代入并整理得
（*）
．由題意，（*）式對任意x∈（-，）恒成立，
所以，
解之得或．
所以有且只有兩定點（，0），（-，0），
使得k_Qt•k_Qs為定值-．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和推理能力．