Question

一束光線從點F₁（-1，0）出發，經直線l：2x-y+3=0上一點P反射后，恰好穿過點F₂（1，0）．
（1）求P點的坐標；
（2）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓C的方程；
（3）設點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出F₁關于l的對稱點為F，進而利用F₁的坐標求得

n

m+1

的值，同時把F₁F的中點代入直線方程求得n和m的關系式，聯立方程求得n和m，進而求得F的坐標．
（2）根據橢圓的定義可求得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂進而利用兩點間的距離公式求得a，根據c的值求得b，則橢圓的方程可得．
（3）假設存在兩定點，并設出坐標，分別表示出QT和QS的斜率表示出k，把橢圓的方程代入，對于x∈（-

2

，

2

）恒成立聯立方程求得k，s和t，求得兩定點的坐標．

解答：解：（1）設F₁關于l的對稱點為F（m，n），則

n

m+1

=-

1

2

且2•

m-1

2

-

n

2

+3=0，
解得m=-

9

5

，n=

2

5

，即F(-

9

5

，

2

5

)．
由

x+7y-1=0 2x-y+3=0

，解得P(-

4

3

，

1

3

)．
（2）因為PF₁=PF，根據橢圓定義，得2a=PF₁+PF₂=PF+PF₂=FF₂
=

(- 9 5 -1)2+( 2 5 -0)2

=2

2

，所以a=

2

．又c=1，
所以b=1．所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（3）假設存在兩定點為A（s，0），B（t，0），
使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有k_Qt•k_Qs=k（k為定值），
即

y

x-s

•

y

x-t

=k，將y2=1-

x2

2

代入并整理得
(k+

1

2

)x2-k(s+t)x+kst-1=0（*）
．由題意，（*）式對任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，
所以

k+ 1 2 =0 k(x+t)=0 kst-1=0

，
解之得

k=- 1 2 s= 2 t=- 2

或

k=- 1 2 s=- 2 t= 2

．
所以有且只有兩定點（

2

，0），（-

2

，0），
使得k_Qt•k_Qs為定值-

1

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和推理能力．