Question

【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值和極大值，且，是方程的兩個(gè)正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對求導(dǎo)即可證明結(jié)論．

解：函數(shù)，

，

，當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有極小值；

當(dāng)時(shí)，，故，

在上單調(diào)遞減，故此時(shí)無極值；

當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等的正根，．

可得，．

則當(dāng)及時(shí)，

，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ；單調(diào)遞增；

在處有極小值，在處有極大值．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)．

由可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn)，且，是方程的兩個(gè)正根，

則，．

；

令，

；，

在上單調(diào)遞減，故，

．