Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、．經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，把平面沿軸折起來，使軸正半軸和軸確定的半平面，與負半軸和軸所確定的半平面互相垂直．

①若，求異面直線和所成角的大小；

②若折疊后的周長為，求的大小．

Answer 1

【答案】（1） （2）① ②或

【解析】

（1）橢圓的標準方程為：，，的周長是，從而得，于是可得，從而得橢圓標準方程；

（2）①求出直線方程，與橢圓方程聯立求出兩點坐標，折疊后建立如圖的空間直角坐標系，寫出此時各點坐標，求出的坐標，用向量數量積計算向量夾角可得異面直線所成的角．

②設直線方程為，代入橢圓方程，設設折疊前，，則折疊后，，由韋達定理得，折疊前后兩個三角形周長之差為，在空間直角坐標系中，由兩點間距離公式得一等式，結合韋達定理所得可求得，從而得，得到傾斜角．

（1）設橢圓的標準方程為：，，

由橢圓的性質可知：，，

則的周長，即，，

∴橢圓的標準方程：；

（2）①設直線：，

代入橢圓方程，解得：，，

則，，

折疊后主要是四點位置．擦去橢圓如下圖，建立空間直角坐標系，

在空間直角坐標系中，，，

，，，，

異面直線和所成角為，則，

∴異面直線和所成角的大小；

②折疊后對應點記為，如圖

設折疊前，，則，，

由，，則，

設折疊前直線方程為，

則，整理得：，

則，，

則，，

∴，（1）

∴，

∴，（2）

∴由（1），（2）可知：，

∴，

∴，

即，

，則，

解得：，

故或．