Question

設A、B分別為橢圓＝1(a、b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x＝4為它的右準線．

(1)求橢圓的方程；

(2)設P為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：依題意得a＝2c， 　　從而b＝． 　　故橢圓方程為＝1． 　　(2)解法一：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)． 　　設M(x0，y0)． 　　∵M點在橢圓上，∴y02＝(4－x02)　　① 　　又M點異于頂點A、B，∴－2＜x0＜2． 　　由P、A、M三點共線可得P(4，)． 　　從而＝(x0－2，y0)，＝(2，)． 　　∴＝2x0－4＋(x02－4＋3y0)　　② 　　將①式代入②式化簡得(2－x0)． 　　∵2－x0＞0，∴＞0． 　　于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內． 　　解法二：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)． 　　設P(4，λ)(λ≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　則直線AP的方程為y＝(x＋2)，直線BP的方程為y＝(x－2)． 　　∵點M、N分別在直線AP、BP上， 　　∴y1＝(x1＋2)，y2＝(x2－2)． 　　從而y1y2＝(x1＋2)(x2－2)　　③ 　　聯立消去y， 　　得(27＋λ2)x2＋4λ2x＋4(λ2－27)＝0． 　　∵x1，－2是方程的兩根， 　　∴(－2)·x1＝，即x1＝　　④ 　　又＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2　　⑤ 　　于是由③④式代入⑤式化簡可得(x2－2)． 　　∵N點在橢圓上，且異于頂點A、B． 　　∴x2－2＜0． 　　又∵λ≠0，∴＞0． 　　從而＜0． 　　故∠MBN為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內． 　　解法三：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)． 　　設M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　則－2＜x1＜2，－2＜x2＜2． 　　又MN的中點Q的坐標為()， 　　∴|BQ|2－|MN|2＝()2＋()2－［(x1－x2)2＋(y1－y2)2］． 　　化簡得|BQ|2－|MN|2＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2　　⑥ 　　直線AP的方程為y＝(x＋2)，直線BP的方程為y＝(x－2)． 　　∵點P在準線x＝4上，∴， 　　即y2＝　　⑦ 　　又∵M點在橢圓上， 　　∴＝1，即y12＝(4－x12)　　⑧ 　　于是將⑦⑧式代入⑥式化簡可得|BQ|2－|MN|2＝(2－x1)(x2－2)＜0． 　　從而B在以MN為直徑的圓內．